第一百六十三章 陆兮同学，去中大旁听吗？
第一道题：“设M是一个2-维流形，证明流形上的切空间与法向量空间的干系。”
老傅面对英勇精进的陆兮同窗的，排挤了三道大题。
完整不是那种为了显得本身很牛逼，故弄玄虚的二流子。
不过话说返来，这位陆兮同窗貌似才高一。
比如她提到“流形”时，他几近能感遭到她在报告这一观点时的成熟感。
成果走投无路，乃至一度考虑重新插手高考，最后在一名真正牛逼的同窗的先容下，连学位证书都没有的他，来到了华附。
起首，了解黎曼流形上向量场散度的定义就需求必然的根本。它触及到黎曼度量、部分坐标系下的张量运算以及行列式的知识。
这需求熟谙测地线的定义，并且能够将向量场与测地线四周的多少窜改联络起来。
到这里，才仅仅只是了解观点的第一步。
他如数家珍，烂熟于心。
因为这道题的解法触及多个笼统观点的综合应用。
一小我宅在家里，将大学的课程体系性地自学了很长一段时候。
那就只能如许了。
本身是因为这句话才出师倒霉身先死的吗？
第三道题：“给定一个 n-维流形M，在其上给定一个黎曼度量g。证明度量g能够被独一扩大到全部M上，使得在每一个部分坐标系下都满足度量前提。”
单位分化定理本身也是一个相对笼统的东西，了解如何操纵单位分化将部分定义的黎曼度量拼接成在全部流形上定义的度量需求比较强的笼统思惟才气。
要谙练把握在部分坐标系下对向量场的表示，并且理闭幕度定义式中每一项的含义，更需求对黎曼多少中的度量张量及其行列式有深切的了解。
不过对于老傅来讲，提早一些时候学点微分多少罢了，算不了甚么。
没想到这道触及了黎曼度量的延拓性的题目，陆兮的解答不但完美地复原了典范的证明框架，还在每一环节中都给出了清楚松散的推导。
需求了解在分歧部分坐标系下度量的变更干系，而这类变更触及到切向量的坐标变更以及度量系数的呼应窜改。
但如果仅仅刚打仗到流形的观点，还是有必然难度的。
仅仅只是证明思路的构建就很庞大。
第二步，建立散度与测地线性子之间的干系才是真正有应战性的东西。
他厥后没拿到学位证书，被已经佝偻了腰的父亲领归去，他才幡然觉悟。
他要验一验陆兮同窗的成色，是不是如她所揭示出来的那样无懈可击。
很久，老傅俄然来了这么一句：“陆兮同窗，有没有兴趣去中大旁听一段时候？”
一个完整没有接管过任何专业练习的素人。
比方，在考证部分度量的性子时，需求在部分坐标系下对切向量停止详细的运算，并且在证明度量的变更干系时，要精确地应用链式法例等知识停止坐标变更的推导。
老傅的脑海里电光火石普通，将烂熟于心的三道题完整过了一遍后，开端用搞恶作剧的眼神核阅陆兮诉诸笔端下的东西。
第二道题：“在黎曼流形上，给定一个光滑向量场 X，定义 X的散度并证明其与测地线的性子之间的干系。”
如果真的是初学者的话，我独一的建议是，花四年时候把本科数学课程按部就班学一遍再说。
老傅的眼神一下子亮了起来。
至于第三道，要求了解黎曼度量的本质，如何通过部分坐标系来会商度量的延拓性和独一性。
好吧，当初的本身的确很不成熟。
又是黎曼流形上的定义的开端，然后用散度的公式推导出了成果。
在别人传闻本身在学代数多少后，眼神中透暴露敬佩的歌颂时，享用那一种所谓的智商上的优胜感。
这么简练的吗？
对了，老傅宅家自学了一段时候，诡计证明没有黉舍的帮忙，他也能证明本身很牛逼。
当年他才读大一就大志勃勃一小我去应战代数多少。
比如第一道的考核，要求对微分流形的根基观点，如切空间和法向量空间有很好的了解。
因为操纵部分坐标的相容性和单位分化来证明度量的可扩大性可不是直观易想的体例。
最后，证明的过程，要将笼统的数学观点和计算与多少直观相连络，需求对黎曼多少、张量阐发以及微分方程等多个范畴的知识停止综合应用。
长那么丑，学人家搞代数多少，真下头！
恰好他几个题目问下来，陆兮同窗的答复都是那么的流利精准，毫无马脚。
在操纵单位分化拼接度量后，再次考证拼接后的度量满足度量前提的过程也比较烦琐，需求对每一本性子停止详确的阐发和推导，同时还要证明这类扩大抵例的独一性。
这些题都曾在他的自学条记里内里。
分神了那么几秒钟，又吃紧忙忙去看陆兮的第二道的答案。
先写下切空间的定义，嗯，应有之义。
并且在拼接过程中，要考证拼接后的度量仍然满足对称性、双线性和正定性这些度量的根基前提，这需求细心地推导和考证。
……
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这，这，这……
属于入门级别的题目。
这触及到较为笼统的多少和阐发观点。
因为他看到陆兮揭示的流形中分歧坐标系下的窜改和测地线的干系，竟然能精确指出散度公式背后的多少意义。
只是厥后产生了一点变故，让他的数学大业中道崩殂。
然后看了点互换代数代数簇，晓得了点类域论导出范围就到处夸夸其谈。
而那位真正牛逼的同窗厥后去了中大当传授。
特别是黎曼度量的独一性证明部分，充分显现了她对数学笼统的深切了解。
老傅一愣。
了解由向量场天生的单参数微分同胚群对体积的影响，并通过李导数的性子来推导与测地线四周管状邻域体积窜改的干系。
老傅悄悄称奇的时候，陆兮已经做到了第三题。
最后的证明过程细节也极多。
第二道就开端真正现出难度了。
用标记描述如何从流形的切空间到法向量空间的转化？
高一就进军微分多少，比本身大一尝试代数多少还要超前很多
微分多少是三年级的课程。
这并不像一个仅仅晓得定义和公式的门生，而更像是一个已经深切体味这些内容，乃至有过数学研讨经历的人。
也因为并不是真的喜好，因而被讽刺了几句就逃到了游戏内里，不敢面对，最后连学位证书都没有拿到。
可这位陆兮同窗才读高一啊。
处理了？
内心深处或许并不是因为真的对代数多少这些数学内容本身感兴趣，纯粹只是传闻只要搞代数多少的，才配站在纯数鄙夷链顶端。
习题集，去吧。
